Γιος δικηγόρου από τη Μάνη, ο Αλέκος Αλεξανδράκης γεννήθηκε στις 27 Νοεμβρίου 1928 στην Αθήνα. Φοίτησε στα καλύτερα σχολεία της εποχής και μεγάλωσε σε ένα σπίτι γεμάτο βιβλία. Αγαπημένο του άθλημα ήταν η ξιφασκία και στα 15 του έγινε μέλος της εθνικής ομάδας.
Ένα χρόνο αργότερα μπήκε στη Σχολή Δοκίμων, θέλοντας να γίνει αξιωματικός του Ναυτικού. Μία παράσταση, όμως, του Κάρολου Κουν, με πρωταγωνίστρια την Έλλη Λαμπέτη, του άλλαξε τη ζωή. Αποφάσισε να δώσει εξετάσεις στο Βασιλικό Θέατρο και πέρασε πρώτος.
